迭代法的收敛条件

定理 i-4-2（充要条件） 设 $\mathit{A}$$\bm A$ 对称，且 $\mathrm{\forall }i:a_{ii}>0$$\forall i \colon a_{ii} > 0$，则 J 迭代法收敛的充要条件是 $\mathit{A}$$\bm A$ 和 $2\mathit{D}-\mathit{A}$$2 \bm D -\bm A$ 均为正定矩阵.

证明

由于对角元为正，可将迭代矩阵写为

于是 $\mathit{I}-{\mathit{D}}^{-\frac{1}{2}}\mathit{A}{\mathit{D}}^{-\frac{1}{2}}$$\bm I - \bm D^{-\tfrac{1}{2}} \bm A \bm D^{-\tfrac{1}{2}}$ 对称且与 $\mathit{B}$$\bm B$ 相似，故有相同的特征值. 另一方面

于是 J 迭代法 $\iff \rho (\mathit{B})<1\iff \mathit{I}\pm \mathit{B}$$\RLA \rho(\bm B) < 1 \RLA \bm I \pm \bm B$ 正定 $\iff \mathit{A}$$\RLA \bm A$ 和 $2\mathit{D}-\mathit{A}$$2 \bm D - \bm A$ 正定.

备注 注意后者并不是 J 迭代法的充分条件——还需满足前面的两个条件.